矩阵的列向量、行向量、列空间、行空间
1. 列向量 (Column Vectors)
一个 \(m \times n\) 矩阵 \(A\) 可以看作由 \(n\) 个 列向量 组成的，每个列向量是 \(m\) 维的。
例如：
\[
\begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix}
\]
列向量为：
\[
\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}
\]
列空间 (Column Space)
- 定义：列向量的所有线性组合构成的集合：
\[
\text{Col}(A) = { a_1 \mathbf{c}_1 + a_2 \mathbf{c}_2 + \dots + a_n \mathbf{c}_n \mid a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R} }
\]
- 它是 \(\mathbb{R}^m\) 的一个子空间。
- 列秩 = \(\dim(\text{Col}(A))\)，即列空间中最大线性无关列向量的个数。
例子：
\[
\begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix}
\]
列空间为：
\[
\text{Col}(A) = { \alpha \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}2 \ 4\end{pmatrix} \mid \alpha,\beta \in \mathbb{R} }
\]
由于 \(\begin{pmatrix}2 \ 4\end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix}\)，所以
\[
\text{Col}(A) = { t \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} }
\]
这是一条直线，维数 \(=1\)，因此列秩为 \(1\)。
2. 行向量 (Row Vectors)
矩阵 \(A\) 也可以看作由 \(m\) 个 行向量 组成，每个行向量是 \(n\) 维的。
例如：
\[
\begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix}
\]
行向量为：
\[
\mathbf{r}_1 = (1, 2), \quad
\mathbf{r}_2 = (2, 4)
\]
行空间 (Row Space)
- 定义：行向量的所有线性组合构成的集合：
\[
\text{Row}(A) = { b_1 \mathbf{r}_1 + b_2 \mathbf{r}_2 + \dots + b_m \mathbf{r}_m \mid b_1, \dots, b_m \in \mathbb{R} }
\]
- 它是 \(\mathbb{R}^n\) 的一个子空间。
- 行秩 = \(\dim(\text{Row}(A))\)，即行空间中最大线性无关行向量的个数。
例子：
\[
\mathbf{r}_1 = (1, 2), \quad \mathbf{r}_2 = (2, 4) = 2(1, 2)
\]
因此：
\[
\text{Row}(A) = { s (1, 2) \mid s \in \mathbb{R} }
\]
维数 \(=1\)，行秩 \(=1\)。
3. 重要定理
对任意矩阵：
\[
\text{行秩} = \text{列秩}
\]
这个共同的数称为矩阵的 秩 (rank)：
\[
\mathrm{rank}(A) = \dim(\text{Col}(A)) = \dim(\text{Row}(A))
\]
例如上面的矩阵，\(\mathrm{rank}(A) = 1\)。
4. 与矩阵乘法的关系
4.1 \(AX\) 的列空间
- \(AX\) 的每一列是 \(A\) 的列向量的线性组合。
- 所以 \(\text{Col}(AX) \subseteq \text{Col}(A)\)。
若存在 \(X\) 使 \(AX = E_n\)，则有：
\[
\text{Col}(E_n) = \mathbb{R}^n \subseteq \text{Col}(A)
\]
因此 \(\text{Col}(A) = \mathbb{R}^n\)，即 \(\mathrm{rank}(A) = n\)。
4.2 \(YA\) 的行空间
- \(YA\) 的每一行是 \(A\) 的行向量的线性组合。
- 所以 \(\text{Row}(YA) \subseteq \text{Row}(A)\)。
若存在 \(Y\) 使 \(YA = E_n\)，则有：
\[
\text{Row}(E_n) = \mathbb{R}^n \subseteq \text{Row}(A)
\]
因此 \(\text{Row}(A) = \mathbb{R}^n\)，即 \(\mathrm{rank}(A) = n\)。
5. 举例分析
$$
\[\begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix}\]
$$
- 列空间：由 \(\begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix}\) 张成，是 \(\mathbb{R}^2\) 中的一条直线，维数 \(1\)。
- 行空间：由 \((1, 2)\) 张成，是 \(\mathbb{R}^2\) 中的一条直线，维数 \(1\)。
- 因此 \(\mathrm{rank}(A) = 1\)。
不存在矩阵 \(X\) 使得 \(AX = E_2\)，因为：
- \(\text{Col}(AX) \subseteq \text{Col}(A)\)；
- 而 \(\text{Col}(E_2) = \mathbb{R}^2\)；
- 但 \(\text{Col}(A)\) 仅是一条直线，不可能覆盖整个 \(\mathbb{R}^2\)。
同理，也不存在 \(Y\) 使得 \(YA = E_2\)，因为：
- \(\text{Row}(YA) \subseteq \text{Row}(A)\)；
- 而 \(\text{Row}(E_2) = \mathbb{R}^2\)；
- 但 \(\text{Row}(A)\) 仅是一条直线。
6. 矩阵乘法的列视角
设：
\[
A =
\begin{pmatrix}
| & | & & | \\
\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \\
| & | & & |
\end{pmatrix}_{m\times n},
\quad
X =
\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\
x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{np}
\end{pmatrix}_{n\times p}
\]
那么：
\[
AX =
\begin{pmatrix}
| & | & & | \\
A\mathbf{x}_1 & A\mathbf{x}_2 & \cdots & A\mathbf{x}_p \\
| & | & & |
\end{pmatrix}_{m\times p}
\]
其中 \(\mathbf{x}_j\) 是 \(X\) 的第 \(j\) 列。
推导
\[
A\mathbf{x}_j =
\begin{pmatrix}
| & | & & | \\
\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \\
| & | & & |
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1j} \\ x_{2j} \\ \vdots \\ x_{nj}
\end{pmatrix}
= x_{1j}\mathbf{a}_1 + x_{2j}\mathbf{a}_2 + \cdots + x_{nj}\mathbf{a}_n
\]
因此，\(AX\) 的每一列都是 \(A\) 的列向量的线性组合，组合系数由 \(X\) 的相应列给出。
例子
\[
A = \begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix},
\quad
X = \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}
\]
计算：
\[
AX = \begin{pmatrix}
1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\
3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{pmatrix}
\]
第一列：
\[
x_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}
\]
\[
A x_1 = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 19 \\ 43 \end{pmatrix}
\]
确实是 \(A\) 的列向量的线性组合，系数来自 \(X\) 的第一列 \((5,7)^\top\)。
7. 矩阵乘法的行视角
类似地，若考虑 \(YA\)：
- \(YA\) 的每一行是 \(A\) 的行向量的线性组合；
- 系数来自 \(Y\) 的相应行。
8. 总结
| 视角 | 线性组合的基 | 系数来自哪里 | 子空间关系 |
|---|---|---|---|
| \(AX\) | \(A\) 的列向量 | \(X\) 的列 | \(\text{Col}(AX) \subseteq \text{Col}(A)\) |
| \(YA\) | \(A\) 的行向量 | \(Y\) 的行 | \(\text{Row}(YA) \subseteq \text{Row}(A)\) |