真值转换为 IEEE 754

浮点数的规格化表示是指将浮点数的数值调整为特定格式，使得浮点数的表示更加规范、精确和有效率。通常，浮点数表示为以下形式：

\[x = (-1)^s \times M \times 2^E\]

• (s) 是符号位，用于表示数的正负，0 表示正数，1 表示负数；
• (M) 是有效数字，也称为尾数（Mantissa），是规格化后的浮点数的“主要部分”；
• (E) 是指数（Exponent），表示这个数需要乘以 2 的多少次方。

为了使浮点数唯一，==尾数 M 需要进行规格化==，也就是说它要满足以下条件：

\[1 \leq M < 2\]

## 举例：

假设我们有一个浮点数 12.75，用二进制表示：

1. 首先，将 12.75 转换为二进制：
   • 12 转换为二进制为 $1100_2（即 2^3 + 2^2）$
   • 0.75 转换为二进制为 $0.11_2（即 0.5 + 0.25）$

   所以，12.75 的二进制表示为 $1100.11_2$。

2. 将这个数表示为规格化的浮点数形式：
   • 我们需要将小数点左移，直到左边只有一个有效数字（即 1）。
   • $1100.11_2$ 可以写成 $1.10011_2 \times 2^3$。

   这就是规格化形式，其中：

   • 尾数 $M = 1.10011_2$
   • 指数 (E = 3)
3. 最终，12.75 在浮点数规格化表示中为：

\[12.75 = 1.10011_2 \times 2^3\]

在计算机内部，浮点数存储时通常采用 IEEE 754 标准格式。对于 32 位浮点数格式：

• 1 位用于符号；
• 8 位用于指数（带有偏移值 127）；
• 23 位用于尾数的存储。

使用 IEEE 754 标准

1. 计算偏移后的指数

IEEE 754 单精度浮点数使用偏移量为 127 的表示法，因此我们要将实际指数 3 加上偏移量 127，得到：

E = 3 + 127 = 130

130 转换为二进制是 10000010。

2. 符号位

12.75 是正数，因此符号位 S = 0。

3. 尾数

尾数部分是规格化后的 1.10011，==省略前面的隐含 1 ==，只需记录小数点后的部分。

将 10011 填入 23 位的尾数位中，右边补 0，得到：

M = 10011000000000000000000（的确23位）

4. 组合 IEEE 754 表示

现在我们已经有了符号位、指数和尾数：

• 符号位 S = 0
• 指数位 E = 10000010
• 尾数位 M = 10011000000000000000000

将它们组合在一起，得到 IEEE 754 单精度浮点数的二进制表示：

0 10000010 10011000000000000000000B（这个B表示为二进制的意思）

5. 转换为十六进制表示

将这个 32 位二进制数转换为十六进制：

0100 0001 0100 1100 0000 0000 0000 0000

对应的十六进制表示为：

414C0000H（H表示十六进制）

结果：

12.75 的 IEEE 754 单精度浮点数表示为 414C0000H。

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总结：

通过以下步骤，将 12.75 转换为 IEEE 754 单精度浮点数：

1. 12.75 的二进制表示为 1100.11。
2. 规格化为 1.10011 × 2^3。
3. 偏移后的指数 E = 130，即 10000010。
4. 尾数 M = 10011000000000000000000。
5. 最终的 IEEE 754 表示为 414C0000H。

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IEEE 754 转为真值

例子

问题：浮点数 4136000H 转为真值（这个 H 表示为十六进制）

1. 十六进制转换为二进制

41360000H 转换为二进制为：

\[0100\ 0001\ 0011\ 0110\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_2\]

2. 解析符号位

第 1 位是 0，表示符号为正。

3. 解析指数部分

第 2 到第 9 位：$10000010_2$ ，转换为十进制是：

\[10000010_2 = 130_{10}\]

减去偏移量 127，实际指数 (E) 为：

\[E = 130 - 127 = 3\]

4. 解析尾数部分

尾数部分是第 10 到第 32 位：$01101100000000000000000_2$。

IEEE 754 规格化浮点数默认在尾数前有隐含的 1，所以实际尾数 (M) 为：

\[M = 1 + 0.011011_2\]

将小数部分 0.011011_2 转换为十进制：

\[0.011011_2 = 0.375_{10}\]

因此尾数 (M) 为：

\[M = 1 + 0.375 = 1.375\]

5. 计算真值

根据公式 $x = (-1)^s \times M \times 2^E$，将数值代入：

\[x = 1.375 \times 2^3 = 1.375 \times 8 = 11.375\]

最终结论

所以 41360000H 对应的真值确实是 11.375。

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最终总结

[!NOTE] 其实整个过程无非就三步：

1. 符号位
2. 指数部分处理
3. 尾数部分处理

• 1 位用于符号
• 8 位用于指数（带有偏移值 127）
• 23 位用于尾数的存储。

1. 符号位

0 正 1 负，就这个简单的道理

2. 指数部分

• 真值转 IEEE754 要加 127 偏移量，然后转二进制
• IEEE754 转真值要减 127 偏移量，然后转二进制

3. 尾数处理部分

因为，尾数部分的范围是： \(1 \leq M < 2\)

1. 真值转为 IEEE754
   • 规格化后，将小数部分（包含 0 的）（即尾数部分）补充到 23 位就是所谓的要的部分了
2. IEEE754 转真值
   • 取后 23 位，转为二进制小数，然后转为十进制。因为一开始省略了个 1 的，所以要加回来。