在 ZFC集合论 中，所有对象都是集合，包括被视为“元素”的个体。因此，元素 $( x \in A )$ 本身也是一个集合，可以与集合 $A$ 进行交集运算。以下是详细说明：

  • ZFC的底层设定：ZFC中不存在“原子元素”（如数字、符号等不可拆分的对象）。所有对象均为集合，包括自然数、函数等，均通过空集递归定义。
    • 例如：自然数 $( 0 = \emptyset )$，$( 1 = { \emptyset} )$，$( 2 = { \emptyset, { \emptyset }} )$，依此类推。

ZFC 公理系统详解及示例

ZFC（策梅洛-弗兰克尔集合论）是现代数学的基础公理系统，包含 9 个公理（含选择公理），旨在为集合提供严格的定义规则，避免朴素集合论中的悖论。以下是各公理的详细说明及示例：

1. 外延公理（Axiom of Extensionality）

  • 内容：两个集合相等，当且仅当它们包含相同的元素。
  • 公式： \(\forall A \forall B [\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B) \rightarrow A = B]\)
  • 示例：集合 $A = {1, 2}$ 和 $B = {2, 1}$ 相等，因为元素相同，顺序无关。

2. 空集公理（Axiom of Empty Set）

  • 内容：存在一个不包含任何元素的集合，称为空集（记作 $\emptyset$）。
  • 公式： \(\exists \emptyset \forall x (x \notin \emptyset)\)
  • 示例：$\emptyset = {}$。

3. 配对公理（Axiom of Pairing）

  • 内容：对任意集合 $a$ 和 $b$，存在集合 ${a, b}$。
  • 公式： \(\forall a \forall b \exists C \forall x (x \in C \leftrightarrow x = a \lor x = b)\)
  • 示例：若 $a = 1$，$b = 2$，则 $C = {1, 2}$。

4. 并集公理（Axiom of Union）

  • 内容：对任意集合 $A$，存在其元素的并集 $\bigcup A$。
  • 公式： \(\forall A \exists U \forall x (x \in U \leftrightarrow \exists B (x \in B \land B \in A))\)
  • 示例：若 $A = {{1}, {2, 3}}$，则 $\bigcup A = {1, 2, 3}$。

5. 幂集公理（Axiom of Power Set）

  • 内容：对任意集合 $A$，存在其所有子集的集合 $\mathcal{P}(A)$。
  • 公式： \(\forall A \exists P \forall B (B \subseteq A \rightarrow B \in P)\)
  • 示例：若 $A = {1, 2}$，则 $\mathcal{P}(A) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$。

6. 无穷公理（Axiom of Infinity）

  • 内容：存在一个归纳集，即包含空集且对每个元素 $x$，包含其后续 $x \cup {x}$。
  • 公式： \(\exists S (\emptyset \in S \land \forall x (x \in S \rightarrow x \cup \{x\} \in S))\)
  • 示例：自然数集 $\mathbb{N} = {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}, \dots}$。

7. 分离公理模式（Axiom Schema of Separation）

  • 内容：对任意集合 $A$ 和性质 $P(x)$，存在子集 ${x \in A \mid P(x)}$。
  • 公式： \(\forall A \exists B \forall x (x \in B \leftrightarrow x \in A \land P(x))\)
  • 示例：从 $\mathbb{N}$ 中分离出偶数集 ${n \in \mathbb{N} \mid n \mod 2 = 0}$。

8. 替代公理模式（Axiom Schema of Replacement）

  • 内容：若对集合 $A$ 的每个元素 $x$，存在唯一的 $y$ 满足关系 $\phi(x, y)$，则存在集合 ${y \mid \exists x \in A, \phi(x, y)}$。
  • 公式： \(\forall A \forall x \in A \exists! y \phi(x, y) \rightarrow \exists B \forall y (y \in B \leftrightarrow \exists x \in A \phi(x, y))\)
  • 示例：若 $A = {1, 2, 3}$，定义 $\phi(x, y)$ 为 $y = 2x$，则 $B = {2, 4, 6}$。

9. 正则公理（Axiom of Regularity/Foundation）

  • 内容：任意非空集合 $A$ 存在一个元素与 $A$ 不相交。
  • 公式： \(\forall A (A \neq \emptyset \rightarrow \exists x \in A \forall y \in x (y \notin A))\)
  • 示例：不存在集合 $A$ 使得 $A \in A$，因为正则公理禁止这种自属循环。
\[∀A [A≠∅→∃x∈A (x∩A=∅)]\forall A \, [A \neq \emptyset \rightarrow \exists x \in A \, (x \cap A = \emptyset)]\]

即：任何非空集合 $A$ 中，至少存在一个元素 $x$，使得 $x$ 与 $A$ 没有公共元素 $(x\cap A = \emptyset)$。

直观意义：
集合不能无限递归地“包含自己”或形成循环依赖。例如：

  • 不存在集合 $A$ 满足 $A\in A$（自属集合）。

  • 不存在无限递降的属于链：

    \[A1∋A2∋A3∋…A_1 \ni A_2 \ni A_3 \ni \dots\]

10. 选择公理（Axiom of Choice, AC）

  • 内容：对任意非空集合族 $\mathcal{F}$，存在一个选择函数 $f$，使得 $f(F) \in F$ 对每个 $F \in \mathcal{F}$ 成立。
  • 公式： \(\forall \mathcal{F} \left[ \emptyset \notin \mathcal{F} \rightarrow \exists f: \mathcal{F} \to \bigcup \mathcal{F} \ \forall F \in \mathcal{F} (f(F) \in F) \right]\)
  • 示例：从无限多个非空集合中各选一个元素组成新集合。

直观理解

  1. 假设有无数个装有至少一个球的箱子（每个箱子至少有一个球）。

  2. 选择公理保证我们可以从每个箱子里挑出一个球，即使这些箱子可能是无限多个，并且没有一个具体的选取规则。

等价表述

选择公理有很多等价形式，比如：

  • 佐恩引理（Zorn’s Lemma）：任意非空的 部分有序集，如果每条链都有上界，则该集合中至少存在一个极大元。

  • 良序定理（Well-ordering Theorem）：任意集合都可以被良序化，即能定义出一个全序关系，使得每个非空子集都有一个最小元素。

一个例子

总结

  • ZFC 公理 通过严格限制集合的构造方式（如分离公理、正则公理），避免了朴素集合论中的自指悖论。
  • 核心思想：集合必须通过已有集合逐步构建，禁止“过大”或“自指”的集合。
  • 应用：ZFC 为现代数学提供了严谨的基础，例如实数理论、拓扑学、范畴论等均依赖其框架。