矩阵的列向量、行向量、列空间、行空间
1. 列向量 (Column Vectors)
一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 可以看作由 $n$ 个 列向量 组成的，每个列向量是 $m$ 维的。
例如：
\[\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix}\]列向量为：
\[\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}\]列空间 (Column Space)
- 定义：列向量的所有线性组合构成的集合：
- 它是 $\mathbb{R}^m$ 的一个子空间。
- 列秩 = $\dim(\text{Col}(A))$，即列空间中最大线性无关列向量的个数。
例子：
\[\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix}\]列空间为：
\[\text{Col}(A) = { \alpha \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}2 \ 4\end{pmatrix} \mid \alpha,\beta \in \mathbb{R} }\]由于 $\begin{pmatrix}2 \ 4\end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix}$，所以
\[\text{Col}(A) = { t \begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} }\]这是一条直线，维数 $=1$，因此列秩为 $1$。
2. 行向量 (Row Vectors)
矩阵 $A$ 也可以看作由 $m$ 个 行向量 组成，每个行向量是 $n$ 维的。
例如：
\[\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix}\]行向量为：
\[\mathbf{r}_1 = (1, 2), \quad \mathbf{r}_2 = (2, 4)\]行空间 (Row Space)
- 定义：行向量的所有线性组合构成的集合：
- 它是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。
- 行秩 = $\dim(\text{Row}(A))$，即行空间中最大线性无关行向量的个数。
例子：
\[\mathbf{r}_1 = (1, 2), \quad \mathbf{r}_2 = (2, 4) = 2(1, 2)\]因此：
\[\text{Row}(A) = { s (1, 2) \mid s \in \mathbb{R} }\]维数 $=1$，行秩 $=1$。
3. 重要定理
对任意矩阵：
\[\text{行秩} = \text{列秩}\]这个共同的数称为矩阵的 秩 (rank)：
\[\mathrm{rank}(A) = \dim(\text{Col}(A)) = \dim(\text{Row}(A))\]例如上面的矩阵，$\mathrm{rank}(A) = 1$。
4. 与矩阵乘法的关系
4.1 $AX$ 的列空间
- $AX$ 的每一列是 $A$ 的列向量的线性组合。
- 所以 $\text{Col}(AX) \subseteq \text{Col}(A)$。
若存在 $X$ 使 $AX = E_n$，则有：
\[\text{Col}(E_n) = \mathbb{R}^n \subseteq \text{Col}(A)\]因此 $\text{Col}(A) = \mathbb{R}^n$，即 $\mathrm{rank}(A) = n$。
4.2 $YA$ 的行空间
- $YA$ 的每一行是 $A$ 的行向量的线性组合。
- 所以 $\text{Row}(YA) \subseteq \text{Row}(A)$。
若存在 $Y$ 使 $YA = E_n$，则有：
\[\text{Row}(E_n) = \mathbb{R}^n \subseteq \text{Row}(A)\]因此 $\text{Row}(A) = \mathbb{R}^n$，即 $\mathrm{rank}(A) = n$。
5. 举例分析
\[\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix}\]- 列空间：由 $\begin{pmatrix}1 \ 2\end{pmatrix}$ 张成，是 $\mathbb{R}^2$ 中的一条直线，维数 $1$。
- 行空间：由 $(1, 2)$ 张成，是 $\mathbb{R}^2$ 中的一条直线，维数 $1$。
- 因此 $\mathrm{rank}(A) = 1$。
不存在矩阵 $X$ 使得 $AX = E_2$，因为：
- $\text{Col}(AX) \subseteq \text{Col}(A)$；
- 而 $\text{Col}(E_2) = \mathbb{R}^2$；
- 但 $\text{Col}(A)$ 仅是一条直线，不可能覆盖整个 $\mathbb{R}^2$。
同理，也不存在 $Y$ 使得 $YA = E_2$，因为：
- $\text{Row}(YA) \subseteq \text{Row}(A)$；
- 而 $\text{Row}(E_2) = \mathbb{R}^2$；
- 但 $\text{Row}(A)$ 仅是一条直线。
6. 矩阵乘法的列视角
设：
\[A = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \\ | & | & & | \end{pmatrix}_{m\times n}, \quad X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{np} \end{pmatrix}_{n\times p}\]那么：
\[AX = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ A\mathbf{x}_1 & A\mathbf{x}_2 & \cdots & A\mathbf{x}_p \\ | & | & & | \end{pmatrix}_{m\times p}\]其中 $\mathbf{x}_j$ 是 $X$ 的第 $j$ 列。
推导
\[A\mathbf{x}_j = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \\ | & | & & | \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1j} \\ x_{2j} \\ \vdots \\ x_{nj} \end{pmatrix} = x_{1j}\mathbf{a}_1 + x_{2j}\mathbf{a}_2 + \cdots + x_{nj}\mathbf{a}_n\]因此，$AX$ 的每一列都是 $A$ 的列向量的线性组合，组合系数由 $X$ 的相应列给出。
例子
\[A = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\]计算：
\[AX = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\]第一列：
\[x_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}\] \[A x_1 = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ 43 \end{pmatrix}\]确实是 $A$ 的列向量的线性组合，系数来自 $X$ 的第一列 $(5,7)^\top$。
7. 矩阵乘法的行视角
类似地，若考虑 $YA$：
- $YA$ 的每一行是 $A$ 的行向量的线性组合；
- 系数来自 $Y$ 的相应行。
8. 总结
| 视角 | 线性组合的基 | 系数来自哪里 | 子空间关系 |
|---|---|---|---|
| $AX$ | $A$ 的列向量 | $X$ 的列 | $\text{Col}(AX) \subseteq \text{Col}(A)$ |
| $YA$ | $A$ 的行向量 | $Y$ 的行 | $\text{Row}(YA) \subseteq \text{Row}(A)$ |