RSA 的 p, q 数值接近问题

是的，您描述的正是针对 $p$ 和 $q$ 数值接近的 RSA 模数进行分解的费马分解法 (Fermat’s Factorization Method)。

这种方法的核心思想就是利用对 $N$ 开平方（即求 $\lceil \sqrt{N} \rceil$）作为起点，进行穷举（或更准确地说是试探）。

费马分解法将一个奇数 $N$ 表达为两个平方数之差： $N = X^2 - Y^2$ 其中 $X$ 和 $Y$ 都是整数。

如果能找到这样的 $X$ 和 $Y$，那么 $N$ 就可以分解为： $N = (X - Y)(X + Y)$ 且 $p = X - Y$ 和 $q = X + Y$。

我们假设 $N = p \cdot q$ 且 $p < q$。

定义 $X$ 和 $Y$： $\begin{aligned} X &= \frac{q+p}{2} \\ Y &= \frac{q-p}{2} \end{aligned}$ 由于 $p$ 和 $q$ 都是奇数（RSA 的要求），它们的和与差都是偶数，所以 $X$ 和 $Y$ 都是整数。
** $X$ 接近 $\sqrt{N}$：** 当 $p$ 和 $q$ 非常接近时，它们的算术平均值 $X = \frac{p+q}{2}$ 会非常接近 $N$ 的几何平均值 $\sqrt{pq} = \sqrt{N}$。 $\mathbf{X} \approx \sqrt{\mathbf{N}}$
** $Y$ 数值很小：** $Y = \frac{q-p}{2}$ 如果 $p$ 和 $q$ 非常接近（例如 $q-p$ 只有几百或几千），那么 $Y$ 的数值会很小。

攻击者从 $N$ 的平方根开始搜索：

起点确定： 设置 $X_0 = \lceil \sqrt{N} \rceil$。
迭代搜索（穷举）： 从 $X = X_0, X_0+1, X_0+2, \dots$ 开始，检查 $X^2 - N$ 是否是一个完全平方数 $Y^2$。
\[\text{检查 } X^2 - N \stackrel{?}{=} Y^2\]
这等价于检查 $\sqrt{X^2 - N}$ 是否是整数 $Y$。
分解： 一旦找到一个整数 $Y$ 使得 $X^2 - N = Y^2$，分解就成功了： $\begin{aligned} p &= X - Y \\ q &= X + Y \end{aligned}$

$p, q$ 接近时的优势： 如果 $p$ 和 $q$ 相差很小，那么 $X_0$ 离真正的 $X$ 很近，只需要进行很少的迭代（穷举步数很少）就能找到正确的 $X$ 和 $Y$，从而快速分解 $N$。
$p, q$ 相差大时的劣势： 如果 $p$ 和 $q$ 相差很大，那么 $Y$ 的数值就会很大，意味着 $X$ 也远大于 $\sqrt{N}$。此时需要进行大量的迭代，效率远低于其他分解算法（如二次筛法或数域筛法），因此费马分解法失效。

这就是为什么当 $p$ 和 $q$ 接近时，“对 $N$ 开平方穷举”的方法（即费马分解法）是有效的。