从零开始：椭圆曲线 $y^2=x^3+ax+b$ 上的点加与点倍
前提：$4a^3+27b^2\neq 0$（曲线非奇异）。在实数域 $\mathbb{R}$ 下描述；公式本质是代数的，故可迁移到其他域（见文末注）。
记两点 $P(x_1,y_1),\,Q(x_2,y_2)$ 在曲线上，且默认 $P\neq \pm Q$ 时斜率有限、分母不为 0；特例单独讨论。
一、点加 $R=P+Q$（$P\neq Q$）
1. 几何定义与目标
经过 $P,Q$ 的直线 $L$ 与曲线再交于第三点 $R’(x_3,-y_3)$。定义
\[P+Q := R(x_3,y_3),\]其中 $R$ 是 $R’$ 关于 $x$ 轴的对称点。目标用 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 表出 $x_3,y_3$。
2. 斜率与直线方程
两点式斜率
\[\lambda=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(\text{要求 }x_2\neq x_1),\]点斜式直线
\[y=\lambda(x-x_1)+y_1.\]3. 代入曲线方程并“只保留 $x$”
把直线方程代入 $y^2=x^3+ax+b$，消去 $y$：
\[\bigl[\lambda(x-x_1)+y_1\bigr]^2=x^3+ax+b.\]先展开左边的平方，再逐项展开：
\[\lambda^2(x-x_1)^2+2\lambda y_1(x-x_1)+y_1^2=x^3+ax+b.\]把 $(x-x_1)^2$ 展开：
\[\lambda^2(x^2-2x_1x+x_1^2)+2\lambda y_1x-2\lambda y_1x_1+y_1^2=x^3+ax+b.\]4. 移项，整理成标准三次方程
把左边全部移到右边，得到“等于 0”的三次式，并按幂次降序收集同类项：
\[0=x^3+ax+b-\lambda^2x^2+2\lambda^2x_1x-\lambda^2x_1^2-2\lambda y_1x+2\lambda y_1x_1-y_1^2.\]把右边看作标准形 $x^3+Cx^2+Dx+E$：
\[x^3+\underbrace{(-\lambda^2)}_{C}x^2+\underbrace{(a+2\lambda^2x_1-2\lambda y_1)}_{D}x+\underbrace{(b-\lambda^2x_1^2+2\lambda y_1x_1-y_1^2)}_{E}=0.\]此处关键观察：$x^2$ 项系数确为
\[C=-\lambda^2.\]5. 三根是 $x_1,x_2,x_3$，应用韦达定理求 $x_3$
为什么 $x_1,x_2$ 是上式的根？因为直线通过 $P$ 与 $Q$，当 $x=x_1$（或 $x_2$）时直线给出 $y=y_1$（或 $y_2$），而 $(x_i,y_i)$ 又在曲线上，因此代入后等式成立，说明 $x_1,x_2$ 使三次式为 0，是根。
设第三根为 $x_3$。韦达定理给出三根和：
\[x_1+x_2+x_3=-C=\lambda^2 \;\Rightarrow\; \boxed{x_3=\lambda^2-x_1-x_2}.\]6. 由直线方程求 $y_3$
第三个交点是 $R’=(x_3,-y_3)$ 且在直线上，将 $x=x_3$ 代入直线：
\[-y_3=\lambda(x_3-x_1)+y_1.\]两边乘以 $-1$ 并整理：
\[\boxed{y_3=\lambda(x_1-x_3)-y_1}.\]（对称写法：同理可得 $y_3=\lambda(x_2-x_3)-y_2$。）
至此，点加完整公式为
\[\boxed{ \begin{aligned} \lambda&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\\ x_3&=\lambda^2-x_1-x_2,\\ y_3&=\lambda(x_1-x_3)-y_1. \end{aligned}}\]7. 等价“因式分解”读系数（可选的第二种完全展开法）
把上面的三次式写成
\[(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+\cdots,\]与上一节整理出的标准式逐项对比，立即得到
\[x_1+x_2+x_3=\lambda^2,\]与前述韦达结论一致。
8. 特例与边界情况
-
若 $x_1=x_2$ 而 $y_1=-y_2$（竖直线），$\lambda$ 无意义。几何上直线与曲线第三交点在无穷远，定义
\[P+(-P)=\mathcal{O}\quad(\text{单位元，点在无穷远}).\] -
单位元与逆元：$\mathcal{O}$ 满足 $P+\mathcal{O}=P$；反元素为 $-P=(x_1,-y_1)$。
二、点倍 $R=2P$（$P=Q$）
1. 切线斜率（隐函数求导）
由曲线 $y^2=x^3+ax+b$ 两边对 $x$ 求导：
\[2y\frac{dy}{dx}=3x^2+a.\]在 $P(x_1,y_1)$ 处切线斜率
\[\lambda=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{P}=\frac{3x_1^2+a}{2y_1}.\]（要求 $y_1\neq 0$ 以避免分母为 0。若 $y_1=0$ 的特例见后述。）
切线方程
\[y=\lambda(x-x_1)+y_1.\]2. 代入曲线，重根与三根和
与点加相同，把切线方程代回曲线得到三次式。因为直线与曲线在 $x=x_1$ 相切，$x=x_1$ 是二重根，第三根为 $x_3$。因此根的多重集为 ${x_1,x_1,x_3}$。
按上一节完全相同的展开与整理，可再次读出
\[C=-\lambda^2,\qquad x_1+x_1+x_3=-C=\lambda^2.\]所以
\[\boxed{x_3=\lambda^2-2x_1}.\]再由直线方程求 $y_3$：
\[-y_3=\lambda(x_3-x_1)+y_1\;\Rightarrow\;\boxed{y_3=\lambda(x_1-x_3)-y_1}.\]于是点倍完整公式为
\[\boxed{ \begin{aligned} \lambda&=\frac{3x_1^2+a}{2y_1},\\ x_3&=\lambda^2-2x_1,\\ y_3&=\lambda(x_1-x_3)-y_1. \end{aligned}}\]3. 重根为何成立（细节不省略版）
将 $y=\lambda(x-x_1)+y_1$ 代入得到的多项式 $F(x)$。由于在 $x_1$ 处“值”为 0（曲线与直线交于 $P$），且“斜率方向一致”为相切，可检验
\[F(x_1)=0,\quad F'(x_1)=0,\]这恰是二重根的充要条件（在实系数多项式下）。因此可因式分解
\[F(x)=(x-x_1)^2(x-x_3).\]4. 点倍的竖切特例
若 $y_1=0$，则 $\lambda=(3x_1^2+a)/(2y_1)$ 不存在；几何上切线为竖直线，第三交点在无穷远，按群法则定义
\[\boxed{2P=\mathcal{O}}.\]三、把结果“代回去”校验（思路交代）
-
由构造可知 $x_3$ 来自“直线–曲线”的三次式根，故存在某个 $y$ 值（即 $-y_3$）使得
\[(-y_3)^2=x_3^3+ax_3+b.\] -
而直线给出 $-y_3=\lambda(x_3-x_1)+y_1$。对称得到
\[y_3=\lambda(x_1-x_3)-y_1,\quad \text{且}\quad y_3^2=x_3^3+ax_3+b.\]
这说明所得 $R(x_3,y_3)$ 的确落在曲线上。
四、群法则与一致性（概念完整性）
- 封闭性：上式给出的 $R$ 仍在曲线上。
- 单位元：$\mathcal{O}$（无穷远点）满足 $P+\mathcal{O}=P$。
- 逆元：$-P=(x_1,-y_1)$，满足 $P+(-P)=\mathcal{O}$。
- 交换律、结合律：几何—代数构造可证明（结合律证明相对技术性，这里不展开）。
五、域的推广与分母可逆条件
以上仅用加减乘除，因而可迁移到任意域 $K$：
- 点加需 $x_2-x_1$ 在 $K$ 中可逆；
- 点倍需 $2y_1$ 在 $K$ 中可逆；
- 标准短魏尔斯特拉斯形 $y^2=x^3+ax+b$ 通常在 $\mathrm{char}(K)\neq 2,3$ 下使用（$\mathrm{char}=2,3$ 需换等价模型与公式）。
六、最终公式对照表（便于查阅）
- 点加 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),\,P\neq Q,\,x_1\neq x_2$：
- 点倍 $2P$（$y_1\neq 0$）：
- 特例：