普通递归

普通递归的阶乘计算方式是每次递归调用后做一些额外的乘法操作，直到递归达到基准情况：

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)

在这个函数中，每次递归调用后，返回值都要与当前的 n 相乘。这意味着每个递归调用都需要等待其子调用返回结果后再继续操作。每次递归调用都会把当前函数的状态（即 n 和栈信息）保存在栈帧中，直到递归最深的一层完成后，结果才开始从下往上返回。

缺点：

尾递归

[!NOTE] 核心是如何通过优化递归的栈使用，避免过多的栈空间消耗，特别是在递归深度较大的情况下。

尾递归的阶乘计算方式确保递归调用是函数的最后一步操作，没有额外的乘法计算，这样编译器就可以优化掉不必要的栈帧，从而节省内存。

def factorial_tail(n, accumulator=1):
    if n == 0:
        return accumulator
    else:
        return factorial_tail(n - 1, n * accumulator)

在这个尾递归的实现中，递归调用是最后一步操作，并且没有等待其他操作。我们用一个额外的参数 accumulator 来保持当前计算的积，每次递归调用时，n 减小，accumulator 更新为 n * accumulator，直到递归终止。

优化：

假设我们计算 factorial(1000)。

在普通递归中，factorial(1000) 会递归调用 factorial(999)，直到递归到 factorial(0)，每一层都要保存栈帧，直到最后一步返回。这可能导致深度递归时的栈溢出。
在尾递归版本中，递归调用时并没有需要回溯的操作，因此栈帧会被复用，避免了栈空间的消耗，甚至可以通过迭代优化来避免递归带来的开销。